Dualsystem/Anwendung

Anwendung

Anwendung in der elektronischen Datenverarbeitung

Bei der Entwicklung von elektronischen Rechenmaschinen erlangte das Dualsystem große Bedeutung, denn in der Digitaltechnik werden Zahlen durch elektrische Zustände dargestellt. Bevorzugt werden zwei komplementäre Zustände wie Strom an / Strom aus oder Spannung / Masse verwendet, da auf diese Weise sehr fehlerresistente und einfache Schaltungen zu realisieren sind (siehe Binärcode). Diese zwei Zustände lassen sich dann als Ziffern benutzen. Das Dualsystem ist die einfachste Methode, um mit Zahlen zu rechnen, die durch diese zwei Ziffern dargestellt werden.

Dualzahlen finden in der elektronischen Datenverarbeitung bei der Darstellung von Festkommazahlen oder ganzen Zahlen Verwendung. Negative Zahlen werden vor allem als Zweierkomplement dargestellt, welches nur im positiven Bereich der Dualzahlendarstellung entspricht. Seltener wird dazu das Einerkomplement verwendet, welches der invertierten Darstellung von Dualzahlen mit vorangestellter Eins entspricht. Die Darstellung von negativen Zahlen im Einerkomplement hat den Nachteil, dass zwei Darstellungen für die Null existieren, einmal im Positiven und einmal im Negativen. Eine weitere Alternative bietet der auf einer Wertebereichsverschiebung basierende Exzesscode.

Um rationale oder gar reelle Zahlen mit nicht abbrechender Dualzahl-Darstellung näherungsweise in der elektronischen Datenverarbeitung darzustellen, werden vorzugsweise Gleitkommadarstellungen verwendet, bei der die Zahl normalisiert und in Mantisse und Exponent aufgeteilt wird. Diese beiden Werte werden dann in Form von Dualzahlen gespeichert.

Berechnung benötigter Stellen

Eine Dualzahl mit $n$ Stellen kann maximal den Wert $2^{n}-1$ annehmen. Eine vierstellige Dualzahl kann also höchstens den Wert $2^{4}-1$, also   16 − 1 = 15   haben.

Konsequenterweise kann man im Dualsystem mit seinen 10 Fingern bis $2^{10}-1$, also bis 1023 zählen.

In der Digitaltechnik gilt es zu beachten, dass häufig beim Speichern einer Dualzahl auch deren Vorzeichen gespeichert werden muss. Dazu wird meistens das eigentlich höchstwertige Bit in dem für die Zahl reservierten Speicherbereich verwendet. Ist dieser Speicherbereich $n$ Bit groß, so beträgt (bei der Darstellung der negativen Zahlen im Zweierkomplement) der maximale Wert der positiven Zahlen $2^{(n-1)}-1$ und der minimale Wert der negativen Zahlen $-(2^{(n-1)})$. Dabei zählt die $0$ zu den positiven Zahlen und die $-1$ ist die „erste negative Zahl“. Insgesamt bleibt damit die Anzahl der darstellbaren Zahlen gleich $2^{n}$.

Die Anzahl benötigter Stellen im Dualsystem für eine gegebene Zahl $n$ im Dezimalsystem ist

$\lfloor \operatorname {lb} n\rfloor +1$.

Dabei bezeichnet $\lfloor \cdot \rfloor$ die Abrundungsfunktion und $\operatorname {lb} n$ den Logarithmus zur Basis 2 der Zahl $n$. Alternativ kann die Anzahl der Dezimalstellen mit 3,322 multipliziert werden (+Aufrunden), was eine Obergrenze ergibt, denn $\operatorname {lb} (10)\approx 3{,}322$ (eine Dezimalstelle, eigentlich also $\operatorname {lb} (9{,}{\bar {9}})$ wird maximal zu $\approx 3{,}322$ Dualstellen).

Anwendung in der Unterhaltungsmathematik

Abb. 2: Beispiel

Abb. 1: Zahlenkarten

Der folgende zur Unterhaltungsmathematik zählende Trick trägt zum Verständnis des Dualsystems bei und verblüfft insbesondere mathematisch weniger Geübte, indem er vermeintlich Hellseherei vortäuscht.

Vorgehensweise

Eine Person A übergibt die sechs Zahlenkarten (Abbildung 1) einer Person B mit der Aufforderung, sich eine Zahl zwischen $1$ und $63$ zu merken, geheim zu halten und nur die Karten wieder zurückzugeben, auf denen die gemerkte Zahl vorkommt. Die Person A schaut sich die zurückgegebenen Karten an, addiert danach (möglichst schnell und unauffällig) deren Anfangszahlen und nennt der Person B die berechnete Summe, welche gleich der gedachten Zahl ist.

Struktur der Karten

Die Zahlenkarten sind folgendermaßen strukturiert: Ist $n$ eine der Zahlen $1$ bis $63$, so ist $n$ in genau denjenigen Kärtchen enthalten, deren Anfangszahlen die Summe $n$ haben. Genauer formuliert: Nach Zerlegung einer der $63$ Zahlen in Zweierpotenz-Summanden ist die betreffende Zahl in genau denjenigen Karten enthalten, deren Anfangszahlen diese Summanden sind.

Der Zahlentrick beruht darauf, dass sich jede natürliche Zahl eindeutig als Summe von Zweierpotenzen darstellen lässt.

Erläuterndes Beispiel

Die Zahl $23$ ist wegen $23=16+4+2+1=[10111]_{2}$ in den Karten mit den Anfangszahlen $16$, $4$, $2$ und $1$ enthalten. (Abbildung 2).