Hashfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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== Beschreibung == | == Beschreibung == | ||
[[Datei:Hash table 4 1 1 0 0 1 0 LL.svg|mini | [[Datei:Hash table 4 1 1 0 0 1 0 LL.svg|mini|Eine Hashfunktion, die Namen auf [[Ganzzahl]]en abbildet. Für die Namen „John Smith“ und „Sandra Dee“ gibt es eine Kollision.]] | ||
Eine '''Hashfunktion''' oder '''Streuwertfunktion''' ist eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]], die eine große [[Definitionsmenge|Eingabemenge]], die ''[[Schlüssel (Datenbank)|Schlüssel]]'', auf eine kleinere [[Zielmenge]], die Hashwerte, abbildet | Eine '''Hashfunktion''' oder '''Streuwertfunktion''' ist eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]], die eine große [[Definitionsmenge|Eingabemenge]], die ''[[Schlüssel (Datenbank)|Schlüssel]]'', auf eine kleinere [[Zielmenge]], die Hashwerte, abbildet | ||
* Eine Hashfunktion ist daher im Allgemeinen nicht [[Injektivität|injektiv]] | |||
* Die Eingabemenge kann Elemente unterschiedlicher Längen enthalten, die Elemente der Zielmenge haben dagegen meist eine feste Länge | |||
Der Name ''Hashfunktion'' stammt vom englischen Verb ''to hash'', das sich mit „zerhacken“ übersetzen lässt | Der Name ''Hashfunktion'' stammt vom englischen Verb ''to hash'', das sich mit „zerhacken“ übersetzen lässt | ||
* Der deutsche Name lautet ''Streuwertfunktion'' | |||
* Beide Namen deuten darauf hin, dass diese Funktionen normalerweise darauf angelegt sind, die Daten zu „verstreuen“ und zu „zerhacken“ (siehe auch [[Zerhacker (Funktechnik)|Zerhacker]] in der Funktechnik) | |||
* Speziell in der Informatik verwendet man auch den Begriff '''Hash-Algorithmus''' ({{enS|hash algorithm}}), da Hashfunktionen oftmals in Form eines [[Algorithmus]] spezifiziert werden, der die Berechnung der [[Mathematische Funktion|mathematischen Funktion]] beschreibt | |||
Die Hash- oder Streuwerte sind meist [[Skalare Variable|skalare]] Werte aus einer begrenzten Teilmenge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] | Die Hash- oder Streuwerte sind meist [[Skalare Variable|skalare]] Werte aus einer begrenzten Teilmenge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] | ||
* Eine gute Hashfunktion liefert dabei für die Eingabedaten Werte derart, dass zwei unterschiedliche Eingaben auch zu unterschiedlichen Ausgabewerten führen | |||
Eine Kollision tritt dann auf, wenn unterschiedlichen Eingabedaten derselbe Hashwert zugeordnet wird | Eine Kollision tritt dann auf, wenn unterschiedlichen Eingabedaten derselbe Hashwert zugeordnet wird | ||
* Da die Menge der möglichen Hashwerte meist kleiner ist als die der möglichen Eingaben, sind solche Kollisionen dann prinzipiell unvermeidlich, weshalb es Verfahren zur Kollisionserkennung geben muss | |||
* Eine gute Hashfunktion zeichnet sich dadurch aus, dass sie für die Eingaben, für die sie entworfen wurde, möglichst wenige Kollisionen erzeugt | |||
* Für bekannte und beschränkte Eingabemengen können auch [[Perfekte Hash-Funktion|perfekte]] (kollisionsfreie) Hashfunktionen gefunden werden | |||
In der Datenspeicherung kann ein Hashwert verwendet werden, um die Speicherstelle der angefragten Daten zu berechnen, z. B | In der Datenspeicherung kann ein Hashwert verwendet werden, um die Speicherstelle der angefragten Daten zu berechnen, z. B | ||
* in einer [[Hashtabelle]] | |||
* Bei [[Prüfsumme]]n verwendet man Hashwerte, um Übertragungsfehler zu erkennen | |||
* Ein Hashwert wird deshalb auch als {{enS|Fingerprint}} bezeichnet, da er eine ''nahezu eindeutige'' Kennzeichnung einer größeren Datenmenge darstellt, so wie ein [[Fingerabdruck]] einen Menschen nahezu eindeutig identifiziert | |||
* In der [[Kryptologie]] werden spezielle [[kryptographische Hashfunktion]]en verwendet, bei denen zusätzlich gefordert wird, dass es praktisch unmöglich ist, Kollisionen absichtlich zu finden | |||
== Definition == | == Definition == | ||
Eine Abbildung <math>h\colon K \rightarrow S</math> heißt ''Hashfunktion'', wenn <math>|K|\geq\ |S|</math> gilt | Eine Abbildung <math>h\colon K \rightarrow S</math> heißt ''Hashfunktion'', wenn <math>|K|\geq\ |S|</math> gilt | ||
* Insbesondere liefert <math>h</math> eine [[Hashtabelle]] der Größe <math>|S|</math> | |||
* Die Menge <math>K</math> repräsentiert die Daten, die ''gehasht werden sollen'', und wird auch die Menge der Schlüssel genannt; die Menge <math>S</math> ist die Menge der möglichen Hashwerte | |||
* Typischerweise wird die Menge der Hashwerte als Anfangsstück der natürlichen Zahlen gewählt: <math>S \subseteq \left\{ 0, \dotsc, m-1 \right\}</math> | |||
* Diese Menge heißt dann auch [[Adressraum]] | |||
Typischerweise wird in der Praxis immer nur eine kleine Teilmenge der Schlüssel <math>K' {}\subseteq{}K</math> mit <math>h</math> abgebildet | Typischerweise wird in der Praxis immer nur eine kleine Teilmenge der Schlüssel <math>K' {}\subseteq{}K</math> mit <math>h</math> abgebildet | ||
* Die Menge <math>S':=\{h(k) | k\in K' \}</math> sind dann die tatsächlich genutzten Hashwerte | |||
Das Verhältnis <math>\beta = \frac{\left| S' \right|}{\left| S \right|} </math> liefert den Belegungsfaktor | Das Verhältnis <math>\beta = \frac{\left| S' \right|}{\left| S \right|} </math> liefert den Belegungsfaktor | ||
Der Fall <math>k \not= k' \land h(k) = h(k')</math> wird als Kollision bezeichnet | Der Fall <math>k \not= k' \land h(k) = h(k')</math> wird als Kollision bezeichnet | ||
* Eine [[Injektivität|injektive]] Hashfunktion heißt perfekt, u. a. weil sie keine Kollisionen erzeugt | |||
== Kriterien == | == Kriterien == | ||
* Geringe Wahrscheinlichkeit von Kollisionen der Hashwerte für den Eingabewertebereich, also möglichst eine [[Gleichverteilung]] der Hashwerte auf die erwarteten Eingabewerte | * Geringe Wahrscheinlichkeit von Kollisionen der Hashwerte für den Eingabewertebereich, also möglichst eine [[Gleichverteilung]] der Hashwerte auf die erwarteten Eingabewerte | ||
* ''[[Surjektivität]]'' – Kein Ergebniswert (Hashwert) soll unmöglich sein, jedes Ergebnis (jeder Hashwert im definierten Wertebereich) soll tatsächlich vorkommen können | * ''[[Surjektivität]]'' – Kein Ergebniswert (Hashwert) soll unmöglich sein, jedes Ergebnis (jeder Hashwert im definierten Wertebereich) soll tatsächlich vorkommen können | ||
* ''[[Effizienz (Informatik)|Effizienz]]'' – Die Funktion muss schnell berechenbar sein, ohne großen Speicherverbrauch auskommen (der Speicherbedarf des Hashwertes soll deutlich kleiner sein als jener des Schlüssels / Eingabewertes) und sollte die Quelldaten (Eingabewerte) möglichst nur einmal lesen müssen | * ''[[Effizienz (Informatik)|Effizienz]]'' – Die Funktion muss schnell berechenbar sein, ohne großen Speicherverbrauch auskommen (der Speicherbedarf des Hashwertes soll deutlich kleiner sein als jener des Schlüssels / Eingabewertes) und sollte die Quelldaten (Eingabewerte) möglichst nur einmal lesen müssen | ||
Folgende Kriterien spielen je nach Anwendung eine unterschiedliche Rolle: | Folgende Kriterien spielen je nach Anwendung eine unterschiedliche Rolle: | ||
* falls die Hashfunktion einen [[sortieren|sortiert]]en Zugriff in der Hashtabelle einer Datenbank erlauben soll: ''[[Ordnungsrelation|ordnungs]]<nowiki />erhaltend'' | * falls die Hashfunktion einen [[sortieren|sortiert]]en Zugriff in der Hashtabelle einer Datenbank erlauben soll: ''[[Ordnungsrelation|ordnungs]]<nowiki />erhaltend'' | ||
* bei kryptologischen Hashfunktionen: ''[[Chaos]]'' oder ''[[Lawineneffekt (Kryptographie)|Lawineneffekt]]'' – Die Hashfunktion soll eine gute [[Diffusion (Kryptologie)|Diffusion]] besitzen; ähnliche Quellelemente (Eingabewerte) sollen zu völlig verschiedenen Hashwerten führen | * bei kryptologischen Hashfunktionen: ''[[Chaos]]'' oder ''[[Lawineneffekt (Kryptographie)|Lawineneffekt]]'' – Die Hashfunktion soll eine gute [[Diffusion (Kryptologie)|Diffusion]] besitzen; ähnliche Quellelemente (Eingabewerte) sollen zu völlig verschiedenen Hashwerten führen | ||
* bei kryptologischen Hashfunktionen: ''[[Konfusion (Kryptologie)|Konfusion]]'' – Vom Hashwert sollen keine Rückschlüsse auf den Eingabewert gemacht werden können | * Im Idealfall verändert das Umkippen eines [[Bit]]s in der Eingabe durchschnittlich die Hälfte aller Bits im resultierenden Hashwert | ||
* bei kryptologischen Hashfunktionen: ''Un[[Umkehrfunktion|umkehrbarkeit]]'' – Es soll kein praktisches Verfahren möglich sein, das aus einem Hashwert den Eingabewert bestimmt | * bei kryptologischen Hashfunktionen: ''[[Konfusion (Kryptologie)|Konfusion]]'' – Vom Hashwert sollen keine Rückschlüsse auf den Eingabewert gemacht werden können | ||
* bei kryptologischen Hashfunktionen: ''Un[[Umkehrfunktion|umkehrbarkeit]]'' – Es soll kein praktisches Verfahren möglich sein, das aus einem Hashwert den Eingabewert bestimmt | |||
== Anwendungen == | == Anwendungen == | ||
Hashfunktionen werden typischerweise angewendet, um | Hashfunktionen werden typischerweise angewendet, um | ||
* einem komplexen Objekt eine [[Speicheradresse]] zuzuweisen | * einem komplexen Objekt eine [[Speicheradresse]] zuzuweisen | ||
* eine kurze [[Prüfsumme]] zu dem Objekt zu berechnen | * Zum Beispiel könnte „Max Mustermann“ im Ordner M abgelegt werden, dem ersten Buchstaben des Nachnamens | ||
* einen Inhalt nahezu eindeutig, aber mit wenig [[Speicherplatz]] zu identifizieren, ohne etwas über den Inhalt zu verraten, zum Beispiel in der [[Kryptographie]] | * eine kurze [[Prüfsumme]] zu dem Objekt zu berechnen | ||
* Beispiel sind die Prüfsumme einer [[Internationale Standardbuchnummer|ISBN]] und die [[zyklische Redundanzprüfung]] zur Erkennung von Übertragungsfehlern von Dateien | |||
* einen Inhalt nahezu eindeutig, aber mit wenig [[Speicherplatz]] zu identifizieren, ohne etwas über den Inhalt zu verraten, zum Beispiel in der [[Kryptographie]] | |||
Je nach Anwendung hat man unterschiedliche Anforderungen an die Funktion | Je nach Anwendung hat man unterschiedliche Anforderungen an die Funktion | ||
* Gruppiert man beispielsweise eine Adresskartei nach dem ersten Buchstaben des Nachnamens, so spart man sich offensichtlich bei der Suche viel Zeit, denn man braucht nur einen von 26 Teilen zu durchsuchen | |||
* Diese Hashfunktion ist für den Menschen sehr praktisch, da sie sehr einfach zu berechnen ist, jedoch würde ein Computerprogramm andere Verfahren verwenden, um ein Adressbuch zu organisieren | |||
* Für das Programm ist es nämlich wichtig, möglichst wenige Kollisionen zu haben | |||
* Es gibt aber offenbar viele Namen, die mit demselben Anfangsbuchstaben beginnen, und sie kommen ungleichmäßig oft vor | |||
* Legt man also beispielsweise Personalakten nach diesem Prinzip ab, so hat man oftmals viele Akten im Ordner mit dem Buchstaben S, während der Ordner Q leer bleibt | |||
Die [[Quersumme#Einstellige (oder iterierte) Quersumme|einstellige Quersumme]] ist eine sehr einfache Hashfunktion | Die [[Quersumme#Einstellige (oder iterierte) Quersumme|einstellige Quersumme]] ist eine sehr einfache Hashfunktion | ||
* Sie ordnet einer beliebigen Zahl eine einstellige Zahl zu, so wird beispielsweise 25 auf 2 + 5 = 7 abgebildet | |||
* Als Prüfsumme ist diese Quersumme aber nicht gut geeignet, da die Vertauschung von Ziffern – ein typischer Fall beim Abtippen von langen Zahlen – nicht erkannt wird | |||
* So hat auch die Zahl 52 dieselbe Quersumme 5 + 2 = 7 | |||
* Prüfsummen wie bei der ISBN eines Buches oder die [[CRC-32]]-Prüfsumme einer Datei, z. B. beim Prüfen einer aus dem Internet heruntergeladenen Datei auf Übertragungsfehler, eignen sich besser, derartige Fehler zu erkennen | |||
Bei der Identifikation von Inhalten mit [[Kryptographische Hashfunktion|kryptographischen Hashfunktionen]] ist es nicht nur wichtig, dass sich der gesamte Hashwert mit allen Bits bei jeder kleinen Modifikation scheinbar zufällig ändert und dass es fast unmöglich ist, einen zweiten Inhalt mit demselben Hashwert zu erzeugen, um einen Komplettaustausch des Inhaltes zu vermeiden | Bei der Identifikation von Inhalten mit [[Kryptographische Hashfunktion|kryptographischen Hashfunktionen]] ist es nicht nur wichtig, dass sich der gesamte Hashwert mit allen Bits bei jeder kleinen Modifikation scheinbar zufällig ändert und dass es fast unmöglich ist, einen zweiten Inhalt mit demselben Hashwert zu erzeugen, um einen Komplettaustausch des Inhaltes zu vermeiden | ||
* Ebenso wichtig ist es, dass der Inhalt nicht aus dem Hashwert [[Rekonstruktion|rekonstruiert]] werden kann | |||
* Hat man zwei Dokumente ausgetauscht und möchte beispielsweise am Telefon die erfolgreiche Übertragung überprüfen, so reicht es, am Telefon die Korrektheit des Hashwertes zu überprüfen | |||
* Wird das Gespräch [[Abhören|abgehört]], so wird dabei nichts über den Inhalt der Nachricht verraten, selbst falls Teile des Inhalts bereits bekannt sein sollten | |||
=== Datenbanken === | === Datenbanken === | ||
[[Datenbankmanagementsystem]]e verwenden Hashfunktionen, um Daten in großen Datenbeständen mittels [[Hashtabelle]]n zu suchen | [[Datenbankmanagementsystem]]e verwenden Hashfunktionen, um Daten in großen Datenbeständen mittels [[Hashtabelle]]n zu suchen | ||
* Darüber wird ein [[Datenbankindex]] realisiert | |||
Mittels Hashfunktionen kann zudem die [[Denormalisierung #Fragmentierung|Fragmentierung]] von Datensätzen realisiert werden | Mittels Hashfunktionen kann zudem die [[Denormalisierung #Fragmentierung|Fragmentierung]] von Datensätzen realisiert werden | ||
* Dabei wird die Hashfunktion auf den [[Primärschlüssel]] des betreffenden Objektes angewandt | |||
* Das Ergebnis referenziert dann seinen Speicherort | |||
Auch für vergleichsweise kleine Datenmengen werden Hashfunktionen benutzt, beispielsweise in [[Kompressionsalgorithmus|Kompressionsalgorithmen]] wie [[LZW]] | Auch für vergleichsweise kleine Datenmengen werden Hashfunktionen benutzt, beispielsweise in [[Kompressionsalgorithmus|Kompressionsalgorithmen]] wie [[LZW]] | ||
=== Prüfsummen === | === Prüfsummen === | ||
{{Hauptartikel|Prüfsumme}} | {{Hauptartikel|Prüfsumme}} | ||
[[Prüfsumme]]n sind ein einfaches Mittel, um die Plausibilität zur Erkennung von Veränderungen an übertragenen Daten zu erhöhen | [[Prüfsumme]]n sind ein einfaches Mittel, um die Plausibilität zur Erkennung von Veränderungen an übertragenen Daten zu erhöhen | ||
* Nur die Teilmenge der Datenvarianten, die bei Berechnung der Prüfsumme das gleiche Ergebnis wie das der Original-Daten erzeugen, kann noch als Verfälschung unerkannt bleiben | |||
* Mit mehreren verschiedenen passend erzeugten Prüfsummen kann die Wahrscheinlichkeit einer Kollision stark reduziert werden | |||
Ein Fehler ist immer feststellbar, wenn die berechnete Prüfsumme der empfangenen Daten sich von der übertragenen Prüfsumme, also der der Originaldaten, unterscheidet | Ein Fehler ist immer feststellbar, wenn die berechnete Prüfsumme der empfangenen Daten sich von der übertragenen Prüfsumme, also der der Originaldaten, unterscheidet | ||
* Falls ein Fehler festgestellt wird, kann die Verfälschung auch ausschließlich in der Prüfsumme enthalten sein | |||
* Die Eignung verschiedener Hashfunktionen zur Prüfsummenberechnung hängt von deren Kollisionswahrscheinlichkeit ab | |||
Wenn die Prüfsumme vor gezielten Manipulationen der Daten schützen soll, wird eine [[kryptographische Hashfunktion]] verwendet, da hier nur mit sehr hohem Rechenaufwand eine Kollision gefunden werden kann | Wenn die Prüfsumme vor gezielten Manipulationen der Daten schützen soll, wird eine [[kryptographische Hashfunktion]] verwendet, da hier nur mit sehr hohem Rechenaufwand eine Kollision gefunden werden kann | ||
==== Beispiele ==== | ==== Beispiele ==== | ||
Hashwerte haben unter anderem bei [[Peer-to-Peer|P2P]]-Anwendungen aus verschiedenen Gründen eine wichtige Aufgabe | Hashwerte haben unter anderem bei [[Peer-to-Peer|P2P]]-Anwendungen aus verschiedenen Gründen eine wichtige Aufgabe | ||
* Die Hashwerte werden hier sowohl zum Suchen und Identifizieren von Dateien als auch zum Erkennen und Prüfen von übertragenen Dateifragmenten verwendet | |||
* So lassen sich große Dateien zuverlässig in kleinen Segmenten austauschen | |||
Zur Anwendung in P2P-Netzen kommen vor allem gestufte Hashfunktionen, bei denen für kleinere Teile einer Datei der Hashwert und dann aus diesen Werten ein Gesamtwert berechnet wird | Zur Anwendung in P2P-Netzen kommen vor allem gestufte Hashfunktionen, bei denen für kleinere Teile einer Datei der Hashwert und dann aus diesen Werten ein Gesamtwert berechnet wird | ||
* Bei den Netzwerken [[Gnutella2|G2]] und [[Direct Connect]] sind dies zum Beispiel [[Tiger-Tree-Hash]]-Funktionen | |||
Das Auffinden von Dateien anhand des Hashwertes ihres Inhaltes ist zumindest in den USA als Softwarepatent geschützt | Das Auffinden von Dateien anhand des Hashwertes ihres Inhaltes ist zumindest in den USA als Softwarepatent geschützt | ||
* Der Inhaber verfolgt Programme und Firmen, die auf Basis dieses Systems die Suche von Dateien ermöglichen | |||
* Sogar Firmen, die im Auftrag der [[Recording Industry Association of America]] oder der [[Motion Picture Association]] Anbieter von unlizenzierten Inhalten ermitteln wollen, sind betroffen | |||
Bei der Programmierung von Internet-Anwendungen werden Hashfunktionen zum Erzeugen von [[Session-ID]]s genutzt, indem unter Verwendung von wechselnden Zustandswerten (wie Zeit, IP-Adresse) ein Hashwert berechnet wird | Bei der Programmierung von Internet-Anwendungen werden Hashfunktionen zum Erzeugen von [[Session-ID]]s genutzt, indem unter Verwendung von wechselnden Zustandswerten (wie Zeit, IP-Adresse) ein Hashwert berechnet wird | ||
=== Kryptologie === | === Kryptologie === | ||
{{Hauptartikel|Kryptographische Hashfunktion}} | {{Hauptartikel|Kryptographische Hashfunktion}} | ||
[[Kryptographische Hashfunktion]]en besitzen spezielle Eigenschaften, in der Praxis sind es [[Kollisionssicherheit|kollisionsresistente]] [[Einwegfunktion]]en | [[Kryptographische Hashfunktion]]en besitzen spezielle Eigenschaften, in der Praxis sind es [[Kollisionssicherheit|kollisionsresistente]] [[Einwegfunktion]]en | ||
* Sie werden verwendet, um Nachrichten zu signieren bzw | |||
* die [[Integrität (Informationssicherheit)|Integrität]] von Daten sicherzustellen | |||
* Zum Hashen von Passwörtern, mit dem Ziel, sie sicher zu speichern oder daraus Schlüssel zu gewinnen, werden spezielle Hashfunktionen verwendet (z. B. aus der Klasse der [[Secure Hash Algorithm|"sicheren Hashalgorithmen"]]) | |||
* Diese sind im Idealfall besonders aufwändig zu berechnen, um [[Brute-Force-Methode|Brute-Force-Angriffe]] zu erschweren | |||
* Weiterhin müssen sie insbesondere den Eigenschaften der Konfusion und Unumkehrbarkeit genügen, damit das Klartextpasswort bzw. eine Menge von Kandidaten nicht ohne weiteres aus dem Schlüsselwert generierbar ist | |||
== Hash-Algorithmen == | == Hash-Algorithmen == | ||
In der Praxis können oft [[Heuristik|heuristische]] Techniken anwendet werden, um eine gute Hashfunktion zu erstellen | In der Praxis können oft [[Heuristik|heuristische]] Techniken anwendet werden, um eine gute Hashfunktion zu erstellen | ||
* Qualitative Informationen über die Verteilung der Schlüssel können in diesem Entwurfsprozess nützlich sein | |||
* Generell sollte eine Hashfunktion von jedem einzelnen Bit des Schlüssels abhängen, so dass sich zwei Schlüssel, die sich nur in einem Bit oder einer Bitfolge unterscheiden, unabhängig davon, ob die Folge am Anfang, am Ende oder in der Mitte des Schlüssels oder vorhanden ist, den gesamten Schlüssel-Hash auf verschiedene Werte abbildet | |||
* Daher ist eine Hashfunktion, die einfach einen Teil eines Schlüssels extrahiert, nicht geeignet | |||
* Wenn zwei Schlüssel einfach Permutationen voneinander sind, z. B. 256 und 625, sollten sie ebenfalls in unterschiedliche Werte gehasht werden | |||
Heuristischen Methoden sind Hashing durch Division und Hashing durch Multiplikation | Heuristischen Methoden sind Hashing durch Division und Hashing durch Multiplikation | ||
=== Hashing durch Division === | === Hashing durch Division === | ||
{{Hauptartikel|Divisionsrestmethode}} | {{Hauptartikel|Divisionsrestmethode}} | ||
Bei dieser Methode wird ein Schlüssel einem Hashwert zugeordnet, indem der [[Division mit Rest|Rest]] des Schlüssels bei [[Division mit Rest|Division]] durch die Größe der [[Hashtabelle]] berechnet wird | Bei dieser Methode wird ein Schlüssel einem Hashwert zugeordnet, indem der [[Division mit Rest|Rest]] des Schlüssels bei [[Division mit Rest|Division]] durch die Größe der [[Hashtabelle]] berechnet wird | ||
* Das heißt, die Hashfunktion <math>h </math> ist definiert als | |||
:<math>h(\mathrm{key}) = \mathrm{key} \ \mathrm{mod} \ \mathrm{tablesize} </math> | :<math>h(\mathrm{key}) = \mathrm{key} \ \mathrm{mod} \ \mathrm{tablesize} </math> | ||
Weil nur eine einzige Divisionsoperation erforderlich ist, ist das Hashing durch Division ziemlich schnell | Weil nur eine einzige Divisionsoperation erforderlich ist, ist das Hashing durch Division ziemlich schnell | ||
* Wenn die Divisionsmethode verwendet wird, sollten bestimmte Werte für die Größe der Hashtabelle vermieden werden | |||
* Sie sollte keine Potenz einer Zahl sein | |||
* Wenn <math>\mathrm{tablesize} = r^p </math> ist, dann ist der Hashwert <math>h(\mathrm{key}) </math> immer gleich den letzten Bits von <math>\mathrm{key} </math> | |||
* Wenn wir nicht wissen, dass alle <math>p </math>-Bit-Muster niedriger Ordnung gleich wahrscheinlich sind, ist es besser, die Hashfunktion so zu gestalten, dass sie von allen Bits des Schlüssels abhängt | |||
* Es hat sich gezeigt, dass die besten Ergebnisse mit der Divisionsmethode erzielt werden, wenn die Größe der Hashtabelle eine [[Primzahl]] ist | |||
* Eine Primzahl, die nicht zu nah bei einer [[Zweierpotenz]] liegt, ist oft eine gute Wahl für die Größe der Hashtabelle | |||
=== Hashing durch Multiplikation === | === Hashing durch Multiplikation === | ||
{{Hauptartikel|Multiplikative Methode}} | {{Hauptartikel|Multiplikative Methode}} | ||
Bei dieser Methode wird der Schlüssel <math>k </math> mit einer konstanten [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>c </math> im Bereich <math>0 < c < 1 </math> [[Multiplizieren|multipliziert]] und die Nachkommastellen von <math>k \cdot c </math> genommen | Bei dieser Methode wird der Schlüssel <math>k </math> mit einer konstanten [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>c </math> im Bereich <math>0 < c < 1 </math> [[Multiplizieren|multipliziert]] und die Nachkommastellen von <math>k \cdot c </math> genommen | ||
* Dann wird dieser Wert mit der Größe der [[Hashtabelle]] multipliziert und mithilfe der [[Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion|Abrundungsfunktion]] der ganzzahlige Teil davon berechnet | |||
* Die Hashfunktion <math>h </math> kann dargestellt werden als | |||
:<math>h(\mathrm{key}) = \mathrm{floor}(\mathrm{tablesize} \cdot (\mathrm{key} \cdot c \ \mathrm{mod} \ 1)) </math> | :<math>h(\mathrm{key}) = \mathrm{floor}(\mathrm{tablesize} \cdot (\mathrm{key} \cdot c \ \mathrm{mod} \ 1)) </math> | ||
Ein Vorteil besteht darin, dass die Größe der Hashtabelle nicht kritisch ist | Ein Vorteil besteht darin, dass die Größe der Hashtabelle nicht kritisch ist | ||
* Sie ist typischerweise eine [[Zweierpotenz]], weil die Hashfunktion dann schneller implementiert werden kann | |||
* Obwohl diese Methode mit jeder [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>c </math> funktioniert, funktioniert sie mit einigen Werten besser als mit anderen | |||
=== Bekannte Hashfunktionen === | === Bekannte Hashfunktionen === | ||
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* [[Micciancio]] | * [[Micciancio]] | ||
* [[Peikert-Rosen]] | * [[Peikert-Rosen]] | ||
* [[Schnelle Fourier-Transformation]] (FFT-Hashfunktion | * [[Schnelle Fourier-Transformation]] (FFT-Hashfunktion) | ||
* [[LASH (Hashfunktion)|LASH]] | * [[LASH (Hashfunktion)|LASH]] | ||
==== Prüfsummen ==== | ==== Prüfsummen ==== | ||
| Zeile 138: | Zeile 205: | ||
| [[FNV (Informatik)|FNV]] || style="text-align:right" | 0,55 GB/s || Fowler, Noll, Vo || 1991 | | [[FNV (Informatik)|FNV]] || style="text-align:right" | 0,55 GB/s || Fowler, Noll, Vo || 1991 | ||
|- | |- | ||
| SipHash/HighwayHash | | SipHash/HighwayHash|| || Jan Wassenberg & Jyrki Alakuijala || 2016 / 2012 | ||
|} | |} | ||
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==== Links ==== | ==== Links ==== | ||
===== Weblinks ===== | ===== Weblinks ===== | ||
# https://de.wikipedia.org/wiki/Hashfunktion | # https://de.wikipedia.org/wiki/Hashfunktion | ||
[[Kategorie:Kryptografie/Hash]] | [[Kategorie:Kryptografie/Hash]] | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
Aktuelle Version vom 19. Oktober 2024, 13:43 Uhr
Hashfunktion - Beschreibung
Beschreibung
Eine Hashfunktion oder Streuwertfunktion ist eine Abbildung, die eine große Eingabemenge, die Schlüssel, auf eine kleinere Zielmenge, die Hashwerte, abbildet
- Eine Hashfunktion ist daher im Allgemeinen nicht injektiv
- Die Eingabemenge kann Elemente unterschiedlicher Längen enthalten, die Elemente der Zielmenge haben dagegen meist eine feste Länge
Der Name Hashfunktion stammt vom englischen Verb to hash, das sich mit „zerhacken“ übersetzen lässt
- Der deutsche Name lautet Streuwertfunktion
- Beide Namen deuten darauf hin, dass diese Funktionen normalerweise darauf angelegt sind, die Daten zu „verstreuen“ und zu „zerhacken“ (siehe auch Zerhacker in der Funktechnik)
- Speziell in der Informatik verwendet man auch den Begriff Hash-Algorithmus (), da Hashfunktionen oftmals in Form eines Algorithmus spezifiziert werden, der die Berechnung der mathematischen Funktion beschreibt
Die Hash- oder Streuwerte sind meist skalare Werte aus einer begrenzten Teilmenge der natürlichen Zahlen
- Eine gute Hashfunktion liefert dabei für die Eingabedaten Werte derart, dass zwei unterschiedliche Eingaben auch zu unterschiedlichen Ausgabewerten führen
Eine Kollision tritt dann auf, wenn unterschiedlichen Eingabedaten derselbe Hashwert zugeordnet wird
- Da die Menge der möglichen Hashwerte meist kleiner ist als die der möglichen Eingaben, sind solche Kollisionen dann prinzipiell unvermeidlich, weshalb es Verfahren zur Kollisionserkennung geben muss
- Eine gute Hashfunktion zeichnet sich dadurch aus, dass sie für die Eingaben, für die sie entworfen wurde, möglichst wenige Kollisionen erzeugt
- Für bekannte und beschränkte Eingabemengen können auch perfekte (kollisionsfreie) Hashfunktionen gefunden werden
In der Datenspeicherung kann ein Hashwert verwendet werden, um die Speicherstelle der angefragten Daten zu berechnen, z. B
- in einer Hashtabelle
- Bei Prüfsummen verwendet man Hashwerte, um Übertragungsfehler zu erkennen
- Ein Hashwert wird deshalb auch als bezeichnet, da er eine nahezu eindeutige Kennzeichnung einer größeren Datenmenge darstellt, so wie ein Fingerabdruck einen Menschen nahezu eindeutig identifiziert
- In der Kryptologie werden spezielle kryptographische Hashfunktionen verwendet, bei denen zusätzlich gefordert wird, dass es praktisch unmöglich ist, Kollisionen absichtlich zu finden
Definition
Eine Abbildung heißt Hashfunktion, wenn gilt
- Insbesondere liefert eine Hashtabelle der Größe
- Die Menge repräsentiert die Daten, die gehasht werden sollen, und wird auch die Menge der Schlüssel genannt; die Menge ist die Menge der möglichen Hashwerte
- Typischerweise wird die Menge der Hashwerte als Anfangsstück der natürlichen Zahlen gewählt:
- Diese Menge heißt dann auch Adressraum
Typischerweise wird in der Praxis immer nur eine kleine Teilmenge der Schlüssel mit abgebildet
- Die Menge sind dann die tatsächlich genutzten Hashwerte
Das Verhältnis liefert den Belegungsfaktor
Der Fall wird als Kollision bezeichnet
- Eine injektive Hashfunktion heißt perfekt, u. a. weil sie keine Kollisionen erzeugt
Kriterien
- Geringe Wahrscheinlichkeit von Kollisionen der Hashwerte für den Eingabewertebereich, also möglichst eine Gleichverteilung der Hashwerte auf die erwarteten Eingabewerte
- Surjektivität – Kein Ergebniswert (Hashwert) soll unmöglich sein, jedes Ergebnis (jeder Hashwert im definierten Wertebereich) soll tatsächlich vorkommen können
- Effizienz – Die Funktion muss schnell berechenbar sein, ohne großen Speicherverbrauch auskommen (der Speicherbedarf des Hashwertes soll deutlich kleiner sein als jener des Schlüssels / Eingabewertes) und sollte die Quelldaten (Eingabewerte) möglichst nur einmal lesen müssen
Folgende Kriterien spielen je nach Anwendung eine unterschiedliche Rolle:
- falls die Hashfunktion einen sortierten Zugriff in der Hashtabelle einer Datenbank erlauben soll: ordnungserhaltend
- bei kryptologischen Hashfunktionen: Chaos oder Lawineneffekt – Die Hashfunktion soll eine gute Diffusion besitzen; ähnliche Quellelemente (Eingabewerte) sollen zu völlig verschiedenen Hashwerten führen
- Im Idealfall verändert das Umkippen eines Bits in der Eingabe durchschnittlich die Hälfte aller Bits im resultierenden Hashwert
- bei kryptologischen Hashfunktionen: Konfusion – Vom Hashwert sollen keine Rückschlüsse auf den Eingabewert gemacht werden können
- bei kryptologischen Hashfunktionen: Unumkehrbarkeit – Es soll kein praktisches Verfahren möglich sein, das aus einem Hashwert den Eingabewert bestimmt
Anwendungen
Hashfunktionen werden typischerweise angewendet, um
- einem komplexen Objekt eine Speicheradresse zuzuweisen
- Zum Beispiel könnte „Max Mustermann“ im Ordner M abgelegt werden, dem ersten Buchstaben des Nachnamens
- eine kurze Prüfsumme zu dem Objekt zu berechnen
- Beispiel sind die Prüfsumme einer ISBN und die zyklische Redundanzprüfung zur Erkennung von Übertragungsfehlern von Dateien
- einen Inhalt nahezu eindeutig, aber mit wenig Speicherplatz zu identifizieren, ohne etwas über den Inhalt zu verraten, zum Beispiel in der Kryptographie
Je nach Anwendung hat man unterschiedliche Anforderungen an die Funktion
- Gruppiert man beispielsweise eine Adresskartei nach dem ersten Buchstaben des Nachnamens, so spart man sich offensichtlich bei der Suche viel Zeit, denn man braucht nur einen von 26 Teilen zu durchsuchen
- Diese Hashfunktion ist für den Menschen sehr praktisch, da sie sehr einfach zu berechnen ist, jedoch würde ein Computerprogramm andere Verfahren verwenden, um ein Adressbuch zu organisieren
- Für das Programm ist es nämlich wichtig, möglichst wenige Kollisionen zu haben
- Es gibt aber offenbar viele Namen, die mit demselben Anfangsbuchstaben beginnen, und sie kommen ungleichmäßig oft vor
- Legt man also beispielsweise Personalakten nach diesem Prinzip ab, so hat man oftmals viele Akten im Ordner mit dem Buchstaben S, während der Ordner Q leer bleibt
Die einstellige Quersumme ist eine sehr einfache Hashfunktion
- Sie ordnet einer beliebigen Zahl eine einstellige Zahl zu, so wird beispielsweise 25 auf 2 + 5 = 7 abgebildet
- Als Prüfsumme ist diese Quersumme aber nicht gut geeignet, da die Vertauschung von Ziffern – ein typischer Fall beim Abtippen von langen Zahlen – nicht erkannt wird
- So hat auch die Zahl 52 dieselbe Quersumme 5 + 2 = 7
- Prüfsummen wie bei der ISBN eines Buches oder die CRC-32-Prüfsumme einer Datei, z. B. beim Prüfen einer aus dem Internet heruntergeladenen Datei auf Übertragungsfehler, eignen sich besser, derartige Fehler zu erkennen
Bei der Identifikation von Inhalten mit kryptographischen Hashfunktionen ist es nicht nur wichtig, dass sich der gesamte Hashwert mit allen Bits bei jeder kleinen Modifikation scheinbar zufällig ändert und dass es fast unmöglich ist, einen zweiten Inhalt mit demselben Hashwert zu erzeugen, um einen Komplettaustausch des Inhaltes zu vermeiden
- Ebenso wichtig ist es, dass der Inhalt nicht aus dem Hashwert rekonstruiert werden kann
- Hat man zwei Dokumente ausgetauscht und möchte beispielsweise am Telefon die erfolgreiche Übertragung überprüfen, so reicht es, am Telefon die Korrektheit des Hashwertes zu überprüfen
- Wird das Gespräch abgehört, so wird dabei nichts über den Inhalt der Nachricht verraten, selbst falls Teile des Inhalts bereits bekannt sein sollten
Datenbanken
Datenbankmanagementsysteme verwenden Hashfunktionen, um Daten in großen Datenbeständen mittels Hashtabellen zu suchen
- Darüber wird ein Datenbankindex realisiert
Mittels Hashfunktionen kann zudem die Fragmentierung von Datensätzen realisiert werden
- Dabei wird die Hashfunktion auf den Primärschlüssel des betreffenden Objektes angewandt
- Das Ergebnis referenziert dann seinen Speicherort
Auch für vergleichsweise kleine Datenmengen werden Hashfunktionen benutzt, beispielsweise in Kompressionsalgorithmen wie LZW
Prüfsummen
Prüfsummen sind ein einfaches Mittel, um die Plausibilität zur Erkennung von Veränderungen an übertragenen Daten zu erhöhen
- Nur die Teilmenge der Datenvarianten, die bei Berechnung der Prüfsumme das gleiche Ergebnis wie das der Original-Daten erzeugen, kann noch als Verfälschung unerkannt bleiben
- Mit mehreren verschiedenen passend erzeugten Prüfsummen kann die Wahrscheinlichkeit einer Kollision stark reduziert werden
Ein Fehler ist immer feststellbar, wenn die berechnete Prüfsumme der empfangenen Daten sich von der übertragenen Prüfsumme, also der der Originaldaten, unterscheidet
- Falls ein Fehler festgestellt wird, kann die Verfälschung auch ausschließlich in der Prüfsumme enthalten sein
- Die Eignung verschiedener Hashfunktionen zur Prüfsummenberechnung hängt von deren Kollisionswahrscheinlichkeit ab
Wenn die Prüfsumme vor gezielten Manipulationen der Daten schützen soll, wird eine kryptographische Hashfunktion verwendet, da hier nur mit sehr hohem Rechenaufwand eine Kollision gefunden werden kann
Beispiele
Hashwerte haben unter anderem bei P2P-Anwendungen aus verschiedenen Gründen eine wichtige Aufgabe
- Die Hashwerte werden hier sowohl zum Suchen und Identifizieren von Dateien als auch zum Erkennen und Prüfen von übertragenen Dateifragmenten verwendet
- So lassen sich große Dateien zuverlässig in kleinen Segmenten austauschen
Zur Anwendung in P2P-Netzen kommen vor allem gestufte Hashfunktionen, bei denen für kleinere Teile einer Datei der Hashwert und dann aus diesen Werten ein Gesamtwert berechnet wird
- Bei den Netzwerken G2 und Direct Connect sind dies zum Beispiel Tiger-Tree-Hash-Funktionen
Das Auffinden von Dateien anhand des Hashwertes ihres Inhaltes ist zumindest in den USA als Softwarepatent geschützt
- Der Inhaber verfolgt Programme und Firmen, die auf Basis dieses Systems die Suche von Dateien ermöglichen
- Sogar Firmen, die im Auftrag der Recording Industry Association of America oder der Motion Picture Association Anbieter von unlizenzierten Inhalten ermitteln wollen, sind betroffen
Bei der Programmierung von Internet-Anwendungen werden Hashfunktionen zum Erzeugen von Session-IDs genutzt, indem unter Verwendung von wechselnden Zustandswerten (wie Zeit, IP-Adresse) ein Hashwert berechnet wird
Kryptologie
Kryptographische Hashfunktionen besitzen spezielle Eigenschaften, in der Praxis sind es kollisionsresistente Einwegfunktionen
- Sie werden verwendet, um Nachrichten zu signieren bzw
- die Integrität von Daten sicherzustellen
- Zum Hashen von Passwörtern, mit dem Ziel, sie sicher zu speichern oder daraus Schlüssel zu gewinnen, werden spezielle Hashfunktionen verwendet (z. B. aus der Klasse der "sicheren Hashalgorithmen")
- Diese sind im Idealfall besonders aufwändig zu berechnen, um Brute-Force-Angriffe zu erschweren
- Weiterhin müssen sie insbesondere den Eigenschaften der Konfusion und Unumkehrbarkeit genügen, damit das Klartextpasswort bzw. eine Menge von Kandidaten nicht ohne weiteres aus dem Schlüsselwert generierbar ist
Hash-Algorithmen
In der Praxis können oft heuristische Techniken anwendet werden, um eine gute Hashfunktion zu erstellen
- Qualitative Informationen über die Verteilung der Schlüssel können in diesem Entwurfsprozess nützlich sein
- Generell sollte eine Hashfunktion von jedem einzelnen Bit des Schlüssels abhängen, so dass sich zwei Schlüssel, die sich nur in einem Bit oder einer Bitfolge unterscheiden, unabhängig davon, ob die Folge am Anfang, am Ende oder in der Mitte des Schlüssels oder vorhanden ist, den gesamten Schlüssel-Hash auf verschiedene Werte abbildet
- Daher ist eine Hashfunktion, die einfach einen Teil eines Schlüssels extrahiert, nicht geeignet
- Wenn zwei Schlüssel einfach Permutationen voneinander sind, z. B. 256 und 625, sollten sie ebenfalls in unterschiedliche Werte gehasht werden
Heuristischen Methoden sind Hashing durch Division und Hashing durch Multiplikation
Hashing durch Division
Vorlage:Hauptartikel Bei dieser Methode wird ein Schlüssel einem Hashwert zugeordnet, indem der Rest des Schlüssels bei Division durch die Größe der Hashtabelle berechnet wird
- Das heißt, die Hashfunktion ist definiert als
Weil nur eine einzige Divisionsoperation erforderlich ist, ist das Hashing durch Division ziemlich schnell
- Wenn die Divisionsmethode verwendet wird, sollten bestimmte Werte für die Größe der Hashtabelle vermieden werden
- Sie sollte keine Potenz einer Zahl sein
- Wenn ist, dann ist der Hashwert immer gleich den letzten Bits von
- Wenn wir nicht wissen, dass alle -Bit-Muster niedriger Ordnung gleich wahrscheinlich sind, ist es besser, die Hashfunktion so zu gestalten, dass sie von allen Bits des Schlüssels abhängt
- Es hat sich gezeigt, dass die besten Ergebnisse mit der Divisionsmethode erzielt werden, wenn die Größe der Hashtabelle eine Primzahl ist
- Eine Primzahl, die nicht zu nah bei einer Zweierpotenz liegt, ist oft eine gute Wahl für die Größe der Hashtabelle
Hashing durch Multiplikation
Vorlage:Hauptartikel Bei dieser Methode wird der Schlüssel mit einer konstanten reellen Zahl im Bereich multipliziert und die Nachkommastellen von genommen
- Dann wird dieser Wert mit der Größe der Hashtabelle multipliziert und mithilfe der Abrundungsfunktion der ganzzahlige Teil davon berechnet
- Die Hashfunktion kann dargestellt werden als
Ein Vorteil besteht darin, dass die Größe der Hashtabelle nicht kritisch ist
- Sie ist typischerweise eine Zweierpotenz, weil die Hashfunktion dann schneller implementiert werden kann
- Obwohl diese Methode mit jeder reellen Zahl funktioniert, funktioniert sie mit einigen Werten besser als mit anderen
Bekannte Hashfunktionen
Weitere bekannte Hashfunktionen sind zum Beispiel
Gitterbasierte Hashfunktionen
- Ajtai
- Micciancio
- Peikert-Rosen
- Schnelle Fourier-Transformation (FFT-Hashfunktion)
- LASH
Prüfsummen
Kryptographische Hashfunktionen
- MD2, MD4, MD5
- Secure Hash Algorithm (SHA)
- RIPEMD-160
- Tiger
- HAVAL
- Whirlpool
Nicht-kryptographische Hashfunktionen
| Hashfunktion | Geschwindigkeit | Entwickler | Jahr |
|---|---|---|---|
| xxHash | 5,4Vorlage:0 GB/s | Yann Collet | 2012 |
| MurmurHash 3a | 2,7Vorlage:0 GB/s | Austin Appleby | 2008 |
| SBox | 1,4Vorlage:0 GB/s | Bret Mulvey | 2007 |
| Lookup3 | 1,2Vorlage:0 GB/s | Bob Jenkins | 2006 |
| CityHash64 | 1,05 GB/s | Geoff Pike & Jyrki Alakuijala | 2011 |
| FNV | 0,55 GB/s | Fowler, Noll, Vo | 1991 |
| SipHash/HighwayHash | Jan Wassenberg & Jyrki Alakuijala | 2016 / 2012 |
Passwort-Hashfunktionen