Dualsystem: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. März 2024, 10:57 Uhr

Dualsystem - Zahlensystem zur Darstellung von Zahlen, die nur zwei verschiedene Ziffern benutzt

Beschreibung

Das Dualsystem (lat. dualis „zwei enthaltend“), auch Zweiersystem oder Binärsystem genannt, ist ein Zahlensystem, das zur Darstellung von Zahlen nur zwei verschiedene Ziffern benutzt

Nach DIN 44300, Teil 2, ist „binär“ nicht gleichbedeutend mit „dual“. „Dual“ bezieht sich auf die Darstellung von Zahlen

Im üblichen Dezimalsystem werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet

Im Dualsystem hingegen werden Zahlen nur mit den Ziffern des Wertes null und eins dargestellt
Oft werden für diese Ziffern die Symbole 0 und 1 verwendet
Die Zahlen null bis fünfzehn sind in der rechts stehenden Liste aufgeführt

Das Dualsystem ist das Stellenwertsystem mit der Basis 2, liefert also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen (Dyadik) (gr. δύο = zwei)

Aufgrund seiner Bedeutung in der Digitaltechnik ist es neben dem Dezimalsystem das wichtigste Zahlensystem

Die Zahldarstellungen im Dualsystem werden auch Dualzahlen oder Binärzahlen genannt

Letztere ist die allgemeinere Bezeichnung, da diese auch verkürzt für binärcodierte Zahlen stehen kann
Der Begriff Binärzahl spezifiziert die Darstellungsweise einer Zahl also nicht näher, er sagt nur aus, dass zwei verschiedene Ziffern verwendet werden

Definition und Darstellung

Bei der Zahldarstellung im Dualsystem werden die Ziffern $z_{i}$ wie im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden Zweierpotenz und nicht der Zehnerpotenz

Die höchstwertige Stelle mit dem Wert $z_{m}$ wird also ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten $z_{m-1}$ bis $z_{0}$ werden in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben

Zur Darstellung von rationalen oder reellen Zahlen folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen $z_{-1}$ bis $z_{-n}$ , die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen
Wenn diese Darstellung abbricht, dann sieht das so aus:

z_{m}z_{m-1}\ldots z_{0}\operatorname {,} z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-n}\qquad \left(m,n\in \mathbb {N} ,\quad z_{i}\in \{0,1\}\right)

Der Wert $Z$ der Dualzahl ergibt sich durch Addition dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert $2^{i}$ multipliziert werden:

Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 2^{i}

Gewöhnlich werden analog zu anderen Zahlensystemen die Symbole 0 und 1 zur Darstellung der beiden Ziffern verwendet

In älterer Literatur mit Bezug zur elektronischen Datenverarbeitung werden manchmal die Symbole Low (L) und High (H) anstelle von 0 und 1 verwendet

Low steht dann meist für den Wert null und High für den Wert eins
Diese Zuordnung nennt sich positive Logik, bei negativer Logik werden die Werte andersherum zugeordnet

In der Informatik werden für binär kodierte Werte auch die „Ziffern“ wahr (w) und falsch (f) bzw. die englischen Übersetzungen true (t) und false (f) verwendet, wobei meist falsch=0 und wahr=1 gesetzt wird

Auch die Symbole L für den Wert eins und 0 für den Wert null finden (selten) Verwendung

Negative Zahlen werden im Dualsystem wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen (−) geschrieben

Beispiele

Die Ziffernfolge 1101 zum Beispiel stellt nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhunderteins dar, sondern die Dreizehn, denn im Dualsystem berechnet sich der Wert durch

[1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}

und nicht wie im Dezimalsystem durch

1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}

Für weitere Techniken und Beispiele zum Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt: siehe Abschnitt Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten Stellenwertsystems an

So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist
In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl dann manchmal in runde Klammern gesetzt
Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für binary, engl. für binär)

Verschiedene Schreibweisen der Zahl dreiundzwanzig im Dualsystem

[10111]₂
10111₂
10111₍₂₎
0b10111
%10111 (sog. Motorola-Konvention, aber z. B. auch bei DR-DOS DEBUG)
HLHHH
L0LLL

Die gelegentlich verwendete Schreibweise 10111b bzw. 10111B ist nicht empfehlenswert, da sie mit Hexadezimalzahlen verwechselt werden kann

Anhang

Siehe auch

Links

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem

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-'''Dualsystem''' - Kurzbeschreibung
+'''Dualsystem''' - [[Zahlensystem]] zur Darstellung von [[Zahl]]en, die nur zwei verschiedene [[Ziffer]]n benutzt
 == Beschreibung ==
-{|class="wikitable float"
+Das '''Dualsystem ''' ([[Latein|lat.]] ''dualis'' „zwei enthaltend“), auch '''Zweiersystem''' oder '''Binärsystem''' genannt, ist ein [[Zahlensystem]], das zur Darstellung von [[Zahl]]en nur zwei verschiedene [[Ziffer]]n benutzt
-|colspan="2" style="text-align:center"|[[Dezimalzahl]]en<br /> 0 bis 15<br /> im Dualsystem
+* Nach DIN 44300, Teil 2, ist „binär“ nicht gleichbedeutend mit „dual“. „Dual“ bezieht sich auf die Darstellung von Zahlen
-|-
-| '''Wertigkeit:''' || <div align="right">'''8 4 2 1'''</div>
-|-
-| Null: || <div align="right">0 0 0 0</div>
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-| Eins: || <div align="right">0 0 0 1</div>
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-| Zwei: || <div align="right">0 0 1 0</div>
-|-
-| Drei: || <div align="right">0 0 1 1</div>
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-| Vier: || <div align="right">0 1 0 0</div>
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-| Fünf: || <div align="right">0 1 0 1</div>
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-| Sechs: || <div align="right">0 1 1 0</div>
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-| Sieben: || <div align="right">0 1 1 1</div>
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-| Acht: || <div align="right">1 0 0 0</div>
-|-
-| Neun: || <div align="right">1 0 0 1</div>
-|-
-| Zehn: || <div align="right">1 0 1 0</div>
-|-
-| Elf: || <div align="right">1 0 1 1</div>
-|-
-| Zwölf: || <div align="right">1 1 0 0</div>
-|-
-| Dreizehn: || <div align="right">1 1 0 1</div>
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-| Vierzehn: || <div align="right">1 1 1 0</div>
-|-
-| Fünfzehn: || <div align="right">1 1 1 1</div>
-|}
-Das '''Dualsystem ''' ([[Latein|lat.]] ''dualis'' „zwei enthaltend“), auch '''Zweiersystem''' oder '''Binärsystem''' genannt, ist ein [[Zahlensystem]], das zur Darstellung von [[Zahl]]en nur zwei verschiedene [[Ziffer]]n benutzt. Nach DIN 44300, Teil 2, ist „binär“ nicht gleichbedeutend mit „dual“. „Dual“ bezieht sich auf die Darstellung von Zahlen.
+Im üblichen [[Dezimalsystem]] werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet
+* Im Dualsystem hingegen werden Zahlen nur mit den Ziffern des Wertes [[null]] und [[eins]] dargestellt
+* Oft werden für diese Ziffern die [[Symbol]]e 0 und 1 verwendet
+* Die Zahlen null bis fünfzehn sind in der rechts stehenden Liste aufgeführt
-Im üblichen [[Dezimalsystem]] werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Im Dualsystem hingegen werden Zahlen nur mit den Ziffern des Wertes [[null]] und [[eins]] dargestellt. Oft werden für diese Ziffern die [[Symbol]]e 0 und 1 verwendet. Die Zahlen null bis fünfzehn sind in der rechts stehenden Liste aufgeführt.
+Das Dualsystem ist das [[Stellenwertsystem]] mit der Basis&nbsp;2, liefert also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen ('''Dyadik''') ([[Griechische Sprache|gr.]] ''δύο = zwei'')
-Das Dualsystem ist das [[Stellenwertsystem]] mit der Basis&nbsp;2, liefert also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen ('''Dyadik''') ([[Griechische Sprache|gr.]] ''δύο = zwei'').
+Aufgrund seiner Bedeutung in der [[Digitaltechnik]] ist es neben dem [[Dezimalsystem]] das wichtigste Zahlensystem
-Aufgrund seiner Bedeutung in der [[Digitaltechnik]] ist es neben dem [[Dezimalsystem]] das wichtigste Zahlensystem.
+Die [[Zahldarstellung]]en im Dualsystem werden auch '''Dualzahlen''' oder '''Binärzahlen''' genannt
+* Letztere ist die allgemeinere Bezeichnung, da diese auch verkürzt für ''[[Binärcode|binärcodierte]] Zahlen'' stehen kann
-Die [[Zahldarstellung]]en im Dualsystem werden auch '''Dualzahlen''' oder '''Binärzahlen''' genannt. Letztere ist die allgemeinere Bezeichnung, da diese auch verkürzt für ''[[Binärcode|binärcodierte]] Zahlen'' stehen kann. Der Begriff Binärzahl spezifiziert die Darstellungsweise einer Zahl also nicht näher, er sagt nur aus, dass zwei verschiedene Ziffern verwendet werden.
+* Der Begriff Binärzahl spezifiziert die Darstellungsweise einer Zahl also nicht näher, er sagt nur aus, dass zwei verschiedene Ziffern verwendet werden
 == Definition und Darstellung ==
-Bei der Zahldarstellung im Dualsystem werden die Ziffern <math>z_i</math> wie im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden [[Potenz (Mathematik)|Zweierpotenz]] und nicht der Zehnerpotenz.
+Bei der Zahldarstellung im Dualsystem werden die Ziffern <math>z_i</math> wie im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden [[Potenz (Mathematik)|Zweierpotenz]] und nicht der Zehnerpotenz
-Die höchstwertige Stelle mit dem Wert <math>z_m</math> wird also ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten <math>z_{m-1}</math> bis <math>z_0</math> werden in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben. Zur Darstellung von [[Rationale Zahl|rationalen]] oder [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen <math>z_{-1}</math> bis <math>z_{-n}</math>, die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen. Wenn diese Darstellung abbricht, dann sieht das so aus:
+Die höchstwertige Stelle mit dem Wert <math>z_m</math> wird also ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten <math>z_{m-1}</math> bis <math>z_0</math> werden in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben
+* Zur Darstellung von [[Rationale Zahl|rationalen]] oder [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen <math>z_{-1}</math> bis <math>z_{-n}</math>, die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen
+* Wenn diese Darstellung abbricht, dann sieht das so aus:
 : <math>z_m z_{m-1} \ldots z_0\operatorname{,}z_{-1} z_{-2} \ldots z_{-n}
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 Der Wert <math>Z</math> der Dualzahl ergibt sich durch Addition dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert <math>2^i</math> multipliziert werden:
-: <math>Z = \sum_{i=-n}^m z_i \cdot 2^i</math>.
+: <math>Z = \sum_{i=-n}^m z_i \cdot 2^i</math>
-Gewöhnlich werden analog zu anderen Zahlensystemen die Symbole 0 und 1 zur Darstellung der beiden Ziffern verwendet.
+Gewöhnlich werden analog zu anderen Zahlensystemen die Symbole 0 und 1 zur Darstellung der beiden Ziffern verwendet
-In älterer Literatur mit Bezug zur [[Elektronische Datenverarbeitung|elektronischen Datenverarbeitung]] werden manchmal die Symbole Low&nbsp;(L) und High&nbsp;(H) anstelle von 0 und 1 verwendet. Low steht dann meist für den Wert null und High für den Wert eins. Diese Zuordnung nennt sich ''positive Logik'', bei ''negativer Logik'' werden die Werte andersherum zugeordnet.
+In älterer Literatur mit Bezug zur [[Elektronische Datenverarbeitung|elektronischen Datenverarbeitung]] werden manchmal die Symbole Low&nbsp;(L) und High&nbsp;(H) anstelle von 0 und 1 verwendet
-In der Informatik werden für binär kodierte Werte auch die „Ziffern“ ''wahr'' (w) und ''falsch'' (f) bzw. die englischen Übersetzungen ''true'' (t) und ''false'' (f) verwendet, wobei meist falsch=0 und wahr=1 gesetzt wird.
+* Low steht dann meist für den Wert null und High für den Wert eins
+* Diese Zuordnung nennt sich ''positive Logik'', bei ''negativer Logik'' werden die Werte andersherum zugeordnet
+In der Informatik werden für binär kodierte Werte auch die „Ziffern“ ''wahr'' (w) und ''falsch'' (f) bzw. die englischen Übersetzungen ''true'' (t) und ''false'' (f) verwendet, wobei meist falsch=0 und wahr=1 gesetzt wird
-Auch die Symbole L für den Wert eins und 0 für den Wert null finden (selten) Verwendung.
+Auch die Symbole L für den Wert eins und 0 für den Wert null finden (selten) Verwendung
-Negative Zahlen werden im Dualsystem wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen&nbsp;(−) geschrieben.
+Negative Zahlen werden im Dualsystem wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen&nbsp;(−) geschrieben
 === Beispiele ===
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 : <math>
 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0 = [1101]_{10}
-</math>.
+</math>
-Für weitere Techniken und Beispiele zum Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt: siehe Abschnitt [[#Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme|Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme]].
+Für weitere Techniken und Beispiele zum Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt: siehe Abschnitt [[#Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme|Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme]]
-Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten [[Stellenwertsystem]]s an. So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist. In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl dann manchmal in runde Klammern gesetzt. Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für ''binary'', engl. für binär).
+Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten [[Stellenwertsystem]]s an
+* So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist
-Verschiedene Schreibweisen der Zahl [[dreiundzwanzig]] im Dualsystem:
+* In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl dann manchmal in runde Klammern gesetzt
+* Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für ''binary'', engl. für binär)
+; Verschiedene Schreibweisen der Zahl [[dreiundzwanzig]] im Dualsystem
 * [10111]<sub>2</sub>
 * 10111<sub>2</sub>
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 * HLHHH
 * L0LLL
-Die gelegentlich verwendete Schreibweise 10111b bzw. 10111B ist nicht empfehlenswert, da sie mit [[Hexadezimalsystem|Hexadezimalzahlen]] verwechselt werden kann.
+Die gelegentlich verwendete Schreibweise 10111b bzw. 10111B ist nicht empfehlenswert, da sie mit [[Hexadezimalsystem|Hexadezimalzahlen]] verwechselt werden kann
-== Eigenschaften ==
+<noinclude>
-=== Teilbarkeit durch eine 2er Potenz ===
-Eine Zahl, dargestellt zur Basis <math>n</math>, ist so oft durch die Basis <math>n</math> ohne Rest teilbar (<math>i</math>-fach, also durch <math>n^i</math>), wie die Zahl Nullen am Ende hat (<math>i</math> Stück). Eine Dualzahl <math>100101000_2</math> (im Dezimalsystem <math>296</math>) ist also dreimal durch <math>2</math> teilbar (<math>=2^3</math>), da sie auf drei Nullen endet und tatsächlich gilt <math>296=2^3\cdot 37</math>
-=== Teilbarkeit durch 3 ===
-Sei <math>n=b_k\dots b_0</math> eine Binärzahl, wobei <math>b_i\in\{0,1\}</math>. Weiter definieren wir die Menge der Einsen an geraden Stellen <math>G_{1}(n) = \{ i \mid \exists j. b_{2j}(n) = 1 \}</math> und die Menge der Einsen an ungeraden Stellen <math>U_{1}(n) = \{ i \mid \exists j. b_{2j+1}(n) = 1 \}</math>. Dann gilt für die Zahl <math>n</math> bezüglich der Teilbarkeit durch <math>3</math> (<math>\#</math> steht für die Anzahl):
-: <math>|\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|\mod 3 = 0\implies n\text{ ist teilbar durch } 3</math>
-Mit Worten ausgedrückt, eine Binärzahl ist genau dann ohne Rest durch 3 teilbar, wenn die Betragsdifferenz der Anzahl der Einsen auf den geraden Positionen und der Anzahl der Einsen auf den ungeraden Positionen durch 3 teilbar ist. Man spricht hier auch von der [[Quersumme#Alternierende Quersumme|alternierenden Quersumme]], die durch 3 teilbar sein muss.
-Beispiel an der Zahl <math>n=744628179621_{(10)}</math>:
-: Die Zahl hat folgende Binärdarstellung <math>n=1010110101011111010011000101001010100101_{(2)}</math>. Es gilt <math>|\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|=|9-12|=3</math> und <math>3 \mod 3 = 0</math> und tatsächlich <math>744628179621:3=248209393207</math>
-== Ähnliche Zahlensysteme ==
-Das [[Unärsystem]], 1er-System oder [[Strichliste]] ist das einfachste Zahlensystem.
-Andere gängige [[Stellenwertsystem]]e sind
-* [[Ternärsystem]] (3er-System)
-* [[Quaternär]] (4er-System)
-* [[Quinär]] (5er-System)
-* [[Senär]] (6er-System)
-* [[Dezimalsystem]] (10er-System)
-* [[Hexadezimalsystem]] (16er-System)
-<noinclude>
 == Anhang ==
 === Siehe auch ===
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 # https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem
 ----
-[[Kategorie:Zeichenkodierung]]
 [[Kategorie:Zahlensystem]]
-[[Kategorie:Binärcode]]
 </noinclude>