Dualsystem

Dualsystem - Kurzbeschreibung

Beschreibung

Dezimalzahlen 0 bis 15 im Dualsystem
Wertigkeit:	8 4 2 1
Null:	0 0 0 0
Eins:	0 0 0 1
Zwei:	0 0 1 0
Drei:	0 0 1 1
Vier:	0 1 0 0
Fünf:	0 1 0 1
Sechs:	0 1 1 0
Sieben:	0 1 1 1
Acht:	1 0 0 0
Neun:	1 0 0 1
Zehn:	1 0 1 0
Elf:	1 0 1 1
Zwölf:	1 1 0 0
Dreizehn:	1 1 0 1
Vierzehn:	1 1 1 0
Fünfzehn:	1 1 1 1

Das Dualsystem (lat. dualis „zwei enthaltend“), auch Zweiersystem oder Binärsystem genannt, ist ein Zahlensystem, das zur Darstellung von Zahlen nur zwei verschiedene Ziffern benutzt. Nach DIN 44300, Teil 2, ist „binär“ nicht gleichbedeutend mit „dual“. „Dual“ bezieht sich auf die Darstellung von Zahlen.

Im üblichen Dezimalsystem werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Im Dualsystem hingegen werden Zahlen nur mit den Ziffern des Wertes null und eins dargestellt. Oft werden für diese Ziffern die Symbole 0 und 1 verwendet. Die Zahlen null bis fünfzehn sind in der rechts stehenden Liste aufgeführt.

Das Dualsystem ist das Stellenwertsystem mit der Basis 2, liefert also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen (Dyadik) (gr. δύο = zwei).

Aufgrund seiner Bedeutung in der Digitaltechnik ist es neben dem Dezimalsystem das wichtigste Zahlensystem.

Die Zahldarstellungen im Dualsystem werden auch Dualzahlen oder Binärzahlen genannt. Letztere ist die allgemeinere Bezeichnung, da diese auch verkürzt für binärcodierte Zahlen stehen kann. Der Begriff Binärzahl spezifiziert die Darstellungsweise einer Zahl also nicht näher, er sagt nur aus, dass zwei verschiedene Ziffern verwendet werden.

Definition und Darstellung

Bei der Zahldarstellung im Dualsystem werden die Ziffern $z_{i}$ wie im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden Zweierpotenz und nicht der Zehnerpotenz.

Die höchstwertige Stelle mit dem Wert $z_{m}$ wird also ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten $z_{m-1}$ bis $z_{0}$ werden in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben. Zur Darstellung von rationalen oder reellen Zahlen folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen $z_{-1}$ bis $z_{-n}$ , die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen. Wenn diese Darstellung abbricht, dann sieht das so aus:

z_{m}z_{m-1}\ldots z_{0}\operatorname {,} z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-n}\qquad \left(m,n\in \mathbb {N} ,\quad z_{i}\in \{0,1\}\right)

Der Wert $Z$ der Dualzahl ergibt sich durch Addition dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert $2^{i}$ multipliziert werden:

Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 2^{i}

.

Gewöhnlich werden analog zu anderen Zahlensystemen die Symbole 0 und 1 zur Darstellung der beiden Ziffern verwendet.

In älterer Literatur mit Bezug zur elektronischen Datenverarbeitung werden manchmal die Symbole Low (L) und High (H) anstelle von 0 und 1 verwendet. Low steht dann meist für den Wert null und High für den Wert eins. Diese Zuordnung nennt sich positive Logik, bei negativer Logik werden die Werte andersherum zugeordnet. In der Informatik werden für binär kodierte Werte auch die „Ziffern“ wahr (w) und falsch (f) bzw. die englischen Übersetzungen true (t) und false (f) verwendet, wobei meist falsch=0 und wahr=1 gesetzt wird.

Auch die Symbole L für den Wert eins und 0 für den Wert null finden (selten) Verwendung.

Negative Zahlen werden im Dualsystem wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen (−) geschrieben.

Beispiele

Die Ziffernfolge 1101 zum Beispiel stellt nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhunderteins dar, sondern die Dreizehn, denn im Dualsystem berechnet sich der Wert durch

[1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}

und nicht wie im Dezimalsystem durch

1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}

.

Für weitere Techniken und Beispiele zum Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt: siehe Abschnitt Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme.

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten Stellenwertsystems an. So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist. In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl dann manchmal in runde Klammern gesetzt. Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für binary, engl. für binär).

Verschiedene Schreibweisen der Zahl dreiundzwanzig im Dualsystem:

[10111]₂
10111₂
10111₍₂₎
0b10111
%10111 (sog. Motorola-Konvention, aber z. B. auch bei DR-DOS DEBUG)
HLHHH
L0LLL

Die gelegentlich verwendete Schreibweise 10111b bzw. 10111B ist nicht empfehlenswert, da sie mit Hexadezimalzahlen verwechselt werden kann.

Anwendung

Anwendung in der elektronischen Datenverarbeitung

Bei der Entwicklung von elektronischen Rechenmaschinen erlangte das Dualsystem große Bedeutung, denn in der Digitaltechnik werden Zahlen durch elektrische Zustände dargestellt. Bevorzugt werden zwei komplementäre Zustände wie Strom an / Strom aus oder Spannung / Masse verwendet, da auf diese Weise sehr fehlerresistente und einfache Schaltungen zu realisieren sind (siehe Binärcode). Diese zwei Zustände lassen sich dann als Ziffern benutzen. Das Dualsystem ist die einfachste Methode, um mit Zahlen zu rechnen, die durch diese zwei Ziffern dargestellt werden.

Dualzahlen finden in der elektronischen Datenverarbeitung bei der Darstellung von Festkommazahlen oder ganzen Zahlen Verwendung. Negative Zahlen werden vor allem als Zweierkomplement dargestellt, welches nur im positiven Bereich der Dualzahlendarstellung entspricht. Seltener wird dazu das Einerkomplement verwendet, welches der invertierten Darstellung von Dualzahlen mit vorangestellter Eins entspricht. Die Darstellung von negativen Zahlen im Einerkomplement hat den Nachteil, dass zwei Darstellungen für die Null existieren, einmal im Positiven und einmal im Negativen. Eine weitere Alternative bietet der auf einer Wertebereichsverschiebung basierende Exzesscode.

Um rationale oder gar reelle Zahlen mit nicht abbrechender Dualzahl-Darstellung näherungsweise in der elektronischen Datenverarbeitung darzustellen, werden vorzugsweise Gleitkommadarstellungen verwendet, bei der die Zahl normalisiert und in Mantisse und Exponent aufgeteilt wird. Diese beiden Werte werden dann in Form von Dualzahlen gespeichert.

Berechnung benötigter Stellen

Eine Dualzahl mit $n$ Stellen kann maximal den Wert $2^{n}-1$ annehmen. Eine vierstellige Dualzahl kann also höchstens den Wert $2^{4}-1$ , also 16 − 1 = 15 haben.

Konsequenterweise kann man im Dualsystem mit seinen 10 Fingern bis $2^{10}-1$ , also bis 1023 zählen.

In der Digitaltechnik gilt es zu beachten, dass häufig beim Speichern einer Dualzahl auch deren Vorzeichen gespeichert werden muss. Dazu wird meistens das eigentlich höchstwertige Bit in dem für die Zahl reservierten Speicherbereich verwendet. Ist dieser Speicherbereich $n$ Bit groß, so beträgt (bei der Darstellung der negativen Zahlen im Zweierkomplement) der maximale Wert der positiven Zahlen $2^{(n-1)}-1$ und der minimale Wert der negativen Zahlen $-(2^{(n-1)})$ . Dabei zählt die $0$ zu den positiven Zahlen und die $-1$ ist die „erste negative Zahl“. Insgesamt bleibt damit die Anzahl der darstellbaren Zahlen gleich $2^{n}$ .

Die Anzahl benötigter Stellen im Dualsystem für eine gegebene Zahl $n$ im Dezimalsystem ist

\lfloor \operatorname {lb} n\rfloor +1

.

Dabei bezeichnet $\lfloor \cdot \rfloor$ die Abrundungsfunktion und $\operatorname {lb} n$ den Logarithmus zur Basis 2 der Zahl $n$ . Alternativ kann die Anzahl der Dezimalstellen mit 3,322 multipliziert werden (+Aufrunden), was eine Obergrenze ergibt, denn $\operatorname {lb} (10)\approx 3{,}322$ (eine Dezimalstelle, eigentlich also $\operatorname {lb} (9{,}{\bar {9}})$ wird maximal zu $\approx 3{,}322$ Dualstellen).

Anwendung in der Unterhaltungsmathematik

Der folgende zur Unterhaltungsmathematik zählende Trick trägt zum Verständnis des Dualsystems bei und verblüfft insbesondere mathematisch weniger Geübte, indem er vermeintlich Hellseherei vortäuscht.

Vorgehensweise

Eine Person A übergibt die sechs Zahlenkarten (Abbildung 1) einer Person B mit der Aufforderung, sich eine Zahl zwischen $1$ und $63$ zu merken, geheim zu halten und nur die Karten wieder zurückzugeben, auf denen die gemerkte Zahl vorkommt. Die Person A schaut sich die zurückgegebenen Karten an, addiert danach (möglichst schnell und unauffällig) deren Anfangszahlen und nennt der Person B die berechnete Summe, welche gleich der gedachten Zahl ist.

Struktur der Karten

Die Zahlenkarten sind folgendermaßen strukturiert: Ist $n$ eine der Zahlen $1$ bis $63$ , so ist $n$ in genau denjenigen Kärtchen enthalten, deren Anfangszahlen die Summe $n$ haben. Genauer formuliert: Nach Zerlegung einer der $63$ Zahlen in Zweierpotenz-Summanden ist die betreffende Zahl in genau denjenigen Karten enthalten, deren Anfangszahlen diese Summanden sind.

Der Zahlentrick beruht darauf, dass sich jede natürliche Zahl eindeutig als Summe von Zweierpotenzen darstellen lässt.

Erläuterndes Beispiel

Die Zahl $23$ ist wegen $23=16+4+2+1=[10111]_{2}$ in den Karten mit den Anfangszahlen $16$ , $4$ , $2$ und $1$ enthalten. (Abbildung 2).

Umrechnung

Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme

Vorlage:Hauptartikel Durch die kleine Basis ergibt sich der Nachteil, dass Zahlen im Verhältnis zu Dezimalzahlen relativ lang und schwer zu überschauen sind (siehe Tabelle unten). Das hat zur Verbreitung des Hexadezimalsystems geführt, welches die Basis 16 besitzt. Da 16 eine Potenz von 2 ist, ist es besonders einfach möglich, Dualzahlen in Hexadezimalzahlen umzurechnen. Dazu werden je vier Stellen der Dualzahl durch eine Hexadezimalstelle ersetzt, was auch die Länge der dargestellten Zahlen um den Faktor vier verringert. Die Hexadezimalziffern mit dem Wert 0–15 werden in der Regel durch die Ziffernsymbole 0–9 und die Großbuchstaben A–F (für die Werte 10–15) dargestellt. Dadurch sind sie verhältnismäßig gut lesbar, so lässt sich zum Beispiel leicht feststellen, dass EDA5₍₁₆₎ größer ist als ED7A₍₁₆₎, wohingegen sich die entsprechenden Dualzahlen 1110110110100101₍₂₎ und 1110110101111010₍₂₎ nicht so schnell überblicken lassen.

Dualsystem	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Dezimalsystem	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Oktalsystem	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17
Hexadezimalsystem	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Vom Dualsystem ins Dezimalsystem

Um eine Dualzahl in die entsprechende Dezimalzahl umzurechnen, werden alle Ziffern jeweils mit ihrem Stellenwert (entsprechende Zweierpotenz) multipliziert und dann addiert.

Beispiel:

1010_{(2)}=1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{1}=8+2=10_{(10)}

Endet die Dualzahl mit einer 1, so ist die Dezimalzahl eine ungerade Zahl. Ist die letzte Ziffer der Dualzahl eine 0, so ist die Dezimalzahl gerade.

Beispiel:

101001_{(2)}=1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=1+8+32=41_{(10)}

101000_{(2)}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{5}=8+32=40_{(10)}

Dieses Verfahren kann auch in Form einer Tabelle aufgeschrieben werden. Dazu notiert man die einzelnen Ziffern einer Dualzahl in Spalten, die mit dem jeweiligen Stellenwert der Ziffer überschrieben sind. In der folgenden Tabelle ist der Stellenwert orange hinterlegt. In jeder der drei Zeilen des weißen Teils steht eine Dualzahl:

	Stellenwert
	32	16	8	4	2	1
Dualzahl	0	0	0	1	0	1	5	Dezimalzahl
	1	0	0	0	1	1	35
	0	0	1	0	1	0	10

Man addiert nun alle Stellenwerte, die über den Einsen der Dualzahl stehen und erhält die entsprechende grün hinterlegte Dezimalzahl. Um zum Beispiel den Dezimalwert der dritten Dualzahl zu errechnen, werden die Stellenwerte 8 und 2 addiert. Das Ergebnis ist 10.

Diese Tabellenmethode ist auch für Stellenwertsysteme zu anderen Basen möglich; die Besonderheit im Dualsystem ist, dass der jeweilige Feldeintrag ('0' oder '1') nicht erst mit der Wertigkeit der Stelle multipliziert werden muss, sondern direkt als Auswahl-Flag ('nein' / 'ja') dieser Stellenwertigkeit zur Addition verwendet werden kann.

Vom Dezimalsystem ins Dualsystem

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Umrechnung ins Dualsystem. Im Folgenden ist die Divisionsmethode (auch Modulo-Methode genannt) am Beispiel 41₍₁₀₎ beschrieben:

\left.{\begin{matrix}41&:2&=&20&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\20&:2&=&10&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\10&:2&=&5&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\5&:2&=&2&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \\2&:2&=&1&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {0} \\1&:2&=&0&\mathrm {Rest} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\uparrow

Die entsprechende Dualzahl ergibt sich durch Notation der errechneten Reste von unten nach oben: 101001₍₂₎.

Eine andere Methode ist die Subtraktionsmethode. Bei dieser subtrahiert man jeweils die größtmögliche Zweierpotenz von der umzurechnenden Dezimalzahl. Wenn die nächstgrößte Zweierpotenz größer als die Differenz der vorherigen Subtraktion ist, so ist die Wertigkeit der nächsten Binärstelle 0. Andernfalls ist die nächste Binärstelle 1, und die Zweierpotenz wird abgezogen. Um diese Methode zu verdeutlichen, bedienen wir uns weiter des Beispiels der Zahl 41:

\left.{\begin{matrix}41&-2^{5}&=&9&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\9&-2^{4}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\9&-2^{3}&=&1&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \\1&-2^{2}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{1}&<&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {0} \\1&-2^{0}&=&0&\mathrm {Wertigkeit} \ \ \mathbf {1} \end{matrix}}\ \right\downarrow

Eigenschaften

Teilbarkeit durch eine 2er Potenz

Eine Zahl, dargestellt zur Basis $n$ , ist so oft durch die Basis $n$ ohne Rest teilbar ( $i$ -fach, also durch $n^{i}$ ), wie die Zahl Nullen am Ende hat ( $i$ Stück). Eine Dualzahl $100101000_{2}$ (im Dezimalsystem $296$ ) ist also dreimal durch $2$ teilbar ( $=2^{3}$ ), da sie auf drei Nullen endet und tatsächlich gilt $296=2^{3}\cdot 37$

Teilbarkeit durch 3

Sei $n=b_{k}\dots b_{0}$ eine Binärzahl, wobei $b_{i}\in \{0,1\}$ . Weiter definieren wir die Menge der Einsen an geraden Stellen $G_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j}(n)=1\}$ und die Menge der Einsen an ungeraden Stellen $U_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j+1}(n)=1\}$ . Dann gilt für die Zahl $n$ bezüglich der Teilbarkeit durch $3$ ( $\#$ steht für die Anzahl):

|\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|\mod 3=0\implies n{\text{ ist teilbar durch }}3

Mit Worten ausgedrückt, eine Binärzahl ist genau dann ohne Rest durch 3 teilbar, wenn die Betragsdifferenz der Anzahl der Einsen auf den geraden Positionen und der Anzahl der Einsen auf den ungeraden Positionen durch 3 teilbar ist. Man spricht hier auch von der alternierenden Quersumme, die durch 3 teilbar sein muss.

Beispiel an der Zahl $n=744628179621_{(10)}$ :

Die Zahl hat folgende Binärdarstellung

n=1010110101011111010011000101001010100101_{(2)}

. Es gilt

|\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|=|9-12|=3

und

3\mod 3=0

und tatsächlich

744628179621:3=248209393207

Anhang

Siehe auch

Links

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem