Dualsystem

Dualsystem - Kurzbeschreibung

Beschreibung

Das Dualsystem (lat. dualis „zwei enthaltend“), auch Zweiersystem oder Binärsystem genannt, ist ein Zahlensystem, das zur Darstellung von Zahlen nur zwei verschiedene Ziffern benutzt. Nach DIN 44300, Teil 2, ist „binär“ nicht gleichbedeutend mit „dual“. „Dual“ bezieht sich auf die Darstellung von Zahlen.

Im üblichen Dezimalsystem werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Im Dualsystem hingegen werden Zahlen nur mit den Ziffern des Wertes null und eins dargestellt. Oft werden für diese Ziffern die Symbole 0 und 1 verwendet. Die Zahlen null bis fünfzehn sind in der rechts stehenden Liste aufgeführt.

Das Dualsystem ist das Stellenwertsystem mit der Basis 2, liefert also die dyadische (2-adische) Darstellung von Zahlen (Dyadik) (gr. δύο = zwei).

Aufgrund seiner Bedeutung in der Digitaltechnik ist es neben dem Dezimalsystem das wichtigste Zahlensystem.

Die Zahldarstellungen im Dualsystem werden auch Dualzahlen oder Binärzahlen genannt. Letztere ist die allgemeinere Bezeichnung, da diese auch verkürzt für binärcodierte Zahlen stehen kann. Der Begriff Binärzahl spezifiziert die Darstellungsweise einer Zahl also nicht näher, er sagt nur aus, dass zwei verschiedene Ziffern verwendet werden.

Definition und Darstellung

Bei der Zahldarstellung im Dualsystem werden die Ziffern $z_{i}$ wie im gewöhnlich verwendeten Dezimalsystem ohne Trennzeichen hintereinander geschrieben, ihr Stellenwert entspricht allerdings der zur Stelle passenden Zweierpotenz und nicht der Zehnerpotenz.

Die höchstwertige Stelle mit dem Wert $z_{m}$ wird also ganz links und die niederwertigeren Stellen mit den Werten $z_{m-1}$ bis $z_{0}$ werden in absteigender Reihenfolge rechts davon aufgeschrieben. Zur Darstellung von rationalen oder reellen Zahlen folgen dann nach einem trennenden Komma die Stellen $z_{-1}$ bis $z_{-n}$ , die den gebrochenen Anteil der Zahl darstellen. Wenn diese Darstellung abbricht, dann sieht das so aus:

z_{m}z_{m-1}\ldots z_{0}\operatorname {,} z_{-1}z_{-2}\ldots z_{-n}\qquad \left(m,n\in \mathbb {N} ,\quad z_{i}\in \{0,1\}\right)

Der Wert $Z$ der Dualzahl ergibt sich durch Addition dieser Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert $2^{i}$ multipliziert werden:

Z=\sum _{i=-n}^{m}z_{i}\cdot 2^{i}

.

Gewöhnlich werden analog zu anderen Zahlensystemen die Symbole 0 und 1 zur Darstellung der beiden Ziffern verwendet.

In älterer Literatur mit Bezug zur elektronischen Datenverarbeitung werden manchmal die Symbole Low (L) und High (H) anstelle von 0 und 1 verwendet. Low steht dann meist für den Wert null und High für den Wert eins. Diese Zuordnung nennt sich positive Logik, bei negativer Logik werden die Werte andersherum zugeordnet. In der Informatik werden für binär kodierte Werte auch die „Ziffern“ wahr (w) und falsch (f) bzw. die englischen Übersetzungen true (t) und false (f) verwendet, wobei meist falsch=0 und wahr=1 gesetzt wird.

Auch die Symbole L für den Wert eins und 0 für den Wert null finden (selten) Verwendung.

Negative Zahlen werden im Dualsystem wie im Dezimalsystem mit einem vorangestellten Minuszeichen (−) geschrieben.

Beispiele

Die Ziffernfolge 1101 zum Beispiel stellt nicht (wie im Dezimalsystem) die Tausendeinhunderteins dar, sondern die Dreizehn, denn im Dualsystem berechnet sich der Wert durch

[1101]_{2}=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=[13]_{10}

und nicht wie im Dezimalsystem durch

1\cdot 10^{3}+1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}=[1101]_{10}

.

Für weitere Techniken und Beispiele zum Umrechnen von Dualzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt: siehe Abschnitt Umrechnen von Dualzahlen in andere Stellenwertsysteme.

Die Klammerung der Resultate mit der tiefgestellten 2 beziehungsweise der 10 gibt die Basis des verwendeten Stellenwertsystems an. So kann leicht erkannt werden, ob die Zahl im Dual- oder im Dezimalsystem dargestellt ist. In der Literatur werden die eckigen Klammern oft weggelassen und die tiefergestellte Zahl dann manchmal in runde Klammern gesetzt. Ebenfalls möglich ist die Kennzeichnung durch den nachgestellten Großbuchstaben B (für binary, engl. für binär).

Verschiedene Schreibweisen der Zahl dreiundzwanzig im Dualsystem:

[10111]₂
10111₂
10111₍₂₎
0b10111
%10111 (sog. Motorola-Konvention, aber z. B. auch bei DR-DOS DEBUG)
HLHHH
L0LLL

Die gelegentlich verwendete Schreibweise 10111b bzw. 10111B ist nicht empfehlenswert, da sie mit Hexadezimalzahlen verwechselt werden kann.

Eigenschaften

Teilbarkeit durch eine 2er Potenz

Eine Zahl, dargestellt zur Basis $n$ , ist so oft durch die Basis $n$ ohne Rest teilbar ( $i$ -fach, also durch $n^{i}$ ), wie die Zahl Nullen am Ende hat ( $i$ Stück). Eine Dualzahl $100101000_{2}$ (im Dezimalsystem $296$ ) ist also dreimal durch $2$ teilbar ( $=2^{3}$ ), da sie auf drei Nullen endet und tatsächlich gilt $296=2^{3}\cdot 37$

Teilbarkeit durch 3

Sei $n=b_{k}\dots b_{0}$ eine Binärzahl, wobei $b_{i}\in \{0,1\}$ . Weiter definieren wir die Menge der Einsen an geraden Stellen $G_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j}(n)=1\}$ und die Menge der Einsen an ungeraden Stellen $U_{1}(n)=\{i\mid \exists j.b_{2j+1}(n)=1\}$ . Dann gilt für die Zahl $n$ bezüglich der Teilbarkeit durch $3$ ( $\#$ steht für die Anzahl):

|\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|\mod 3=0\implies n{\text{ ist teilbar durch }}3

Mit Worten ausgedrückt, eine Binärzahl ist genau dann ohne Rest durch 3 teilbar, wenn die Betragsdifferenz der Anzahl der Einsen auf den geraden Positionen und der Anzahl der Einsen auf den ungeraden Positionen durch 3 teilbar ist. Man spricht hier auch von der alternierenden Quersumme, die durch 3 teilbar sein muss.

Beispiel an der Zahl $n=744628179621_{(10)}$ :

Die Zahl hat folgende Binärdarstellung

n=1010110101011111010011000101001010100101_{(2)}

. Es gilt

|\#G_{1}(n)-\#U_{1}(n)|=|9-12|=3

und

3\mod 3=0

und tatsächlich

744628179621:3=248209393207

Anhang

Siehe auch

Links

Weblinks

https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem

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